Zahlen

InhaltsangabeA. Von den natürlichen zu den komplexen und p-adischen Zahlen.- 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen.- § 1. Historisches.- 1. Ägypten und Babylonien.- 2. Griechenland.- 3. Indisch-arabische Rechenpraxis.- 4. Neuzeit.- §2. Natürliche Zahlen.- 1. Definition der natürlichen Zahlen.- 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von ?.- 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natürlichen Zahlen.- 4. PEANOS Axiome.- §3. Ganze Zahlen.- 1. Die additive Gruppe ?.- 2. Der Integritätsring ?.- 3. Die Anordnung in ?.- §4. Rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 2. Der Körper ?.- 3. Die Anordnung in ?.- Literatur.- 2. Reelle Zahlen.- §1. Historisches.- 1. HIPPASUS und das Pentagon.- 2. EUDOXOS und die Proportionenlehre.- 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik.- 4. Präzisierungen des 19. Jahrhunderts.- §2. DEDEKINDsche Schnitte.- 1. Die Menge ? der Schnitte.- 2. Die Anordnung in ?.- 3. Die Addition in ?.- 4. Die Multiplikation in ?.- §3. Fundamentalfolgen.- 1. Historisches.- 2. Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium.- 3. Der Ring der Fundamentalfolgen.- 4. Der Restklassenkörper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen.- 5. Der vollständig geordnete Restklassenkörper F/N.- §4. Intervallschachtelungen.- 1. Historisches.- 2. Intervallschachtelungen und Vollständigkeit.- §5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen.- 1. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkörper.- 2. Vollständigkeitssätze, 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen.- Literatur.- 3. Komplexe Zahlen.- § 1. Genesis der komplexen Zahlen.- 1. CARDANO (1501-1576).- 2. BOMBELLI (1526-1572).- 3. DESCARTES (1596-1650), NEWTON (1643-1727) und LEIBNIZ (1646-1716).- 4. EULER (1707-1783).- 5. WALLIS (1616-1703), WESSEL (1745-1818) und ARGAND (1768-1822).- 6. GAUSS (1777-1855).- 7. CAUCHY (1789-1857).- 8. HAMILTON (1805-1865).- 9. Ausblick.- §2. Der Körper ?.- 1. Definition durch reelle Zahlenpaare.- 2. Die imaginäre Einheit i.- 3. Geometrische Darstellung.- 4. Nichtanordbarkeit des Körpers ?.- 5. Darstellung durch reelle 2 × 2 Matrizen.- §3. Algebraische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Konjugierung ? ??, z?z?.- 2. Körperautomorphismen von ?.- 3. Das natürliche Skalarprodukt Re(wz?) und die euklidische Länge ?z?.- 4. Produktregel und "Zwei-Quadrate-Satz".- 5. Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen.- 6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln.- §4. Geometrische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Identität ?w, z?2 + ?iw, z?2 = ?w?2 ?z?2.- 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung.- 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhältnis.- 4. Sehnenvierecke und Doppelverhältnis.- 5. Satz von PTOLEMÄUS.- 6. WALLACEsche Gerade.- §5. Die Gruppen O(?) und SO(2).- 1. Abstandstreue Abbildungen von ?.- 2. Die Gruppe O (?).- 3. Die Gruppe SO (2) und der Isomorphismus S1 ? SO(2).- 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2 × 2 Matrizen.- § 6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten.- 3. MOIVREsche Formel.- 4. Einheitswurzeln.- 4. Fundamentalsatz der Algebra.- § 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes.- 1. GIRARD (1595-1632) und DESCARTES (1596-1650).- 2. LEIBNIZ (1646-1716).- 3. EULER (1707-1783).- 4. D'ALEMBERT (1717-1783).- 5. LAGRANGE (1736-1813) und Laplace (1749-1827).- 6. Die Kritik durch GAUSS.- 7. Die vier Beweise von GAUSS.- 8. ARGAND (1768-1822) und CAUCHY (1789-1857).- 9. Fundamentalsatz der Algebra: 0 für 0 < y < ? und die Gleichung $$e^{i\frac{\pi} {2}}=i$$.- 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: ? ? S1, 7. Die Zahl ? und Umfang und Inhalt eines Kreises.- §4. Klassische Formeln für ?.- 1. Die LEIBNIZsche Reihe für ?.- 2. Das VIETAsche Produkt für ?.- 3. Das EULERsche Sinusprodukt und das WALLIssche Produkt für ?.- 4. Die EULERschen Reihen für ?2,?4,.- 5. Die WEIERSTRASSsche Definition von ?.- 6. Irrationalität von ? und Kettenbruchentwicklung.- 7. Transzendenz von ?.- 6. Die p-adischen Zahlen.- §1. Zahlen als Funktionen.- §2. Die arithmetische Bedeutung der p-ad